Les contributions concernent le développement de modèles, l’écriture des formulations quasistatique ou dynamique associées, l’analyse mathématique et la résolution numérique de ces problèmes (code maison "Gyptis" et contribution dans le code "LMGC"). Les applications, qui ont concerné dans le passé le secteur automobile (crissement de lécheurs de vitres avec Renault) et l’aéronautique (progression de fissures dans les composites avec l’ONERA), portent maintenant davantage sur des problèmes de Génie Civil (béton armé, enfoncement de pieux, constructions maçonnées, collage avec des composites, etc) ou de Géophysique (tremblement de terre).

1) Modèles d’interface couplant frottement et adhésion :

• Modèles couplant frottement et adhésion cicatrisante. La loi RCCM (Raous-Cangémi-Cocou-Monerie) développée au LMA permet de prendre en compte, en plus du contact unilatéral et du frottement (sous forme non régularisée), les effets de traction supportés par certaines interfaces ou collages en tenant compte d’une éventuelle dissipation visqueuse. La liaison adhésive est endommageable soit de manière irréversible soit de manière réversible ou cicatrisante (recollement partiel). Une attention particulière est consacrée à la justification thermodynamique de ces modèles qui s’écrit en terme d’inclusions différentielles en raison du caractère non régulier des lois de contact. Les applications centrées tout d’abord sur les composites (interface fibre-matrice) sont maintenant orientées vers les interfaces caoutchouc-verre et vers le génie civil (acier-béton pour le béton armé, collage composite-béton pour la réparation de structures en béton, joints de mortier pour les maçonneries, enfoncement et tenue de pieux).

• Axiomatique pour les lois couplant frottement et adhésion Une formulation unifiée est développée sur la base de considérations énergétiques. Les lois sont générées par la données de potentiels de dissipation et du comportement élémentaires de la liaison. Le modèle est construit sur sur la base de lois générales telles que la conservation d’énergie ou les principe de dissipation (conséquence directe de Clausius -Duhem). Avec des choix particuliers on retrouve les lois classiques du domaine.

• Modéles d’interface en géophysique pour les séismes. Dans ce domaine, les deux grandes classes de lois d’interface utilisées sont les lois de type Rate-and-State (dépendance du frottement à la vitesse de glissement) et Slip Weakening (dépendance du frottement à la distance glissée). Un travail est en cours pour tester la loi RCCM pour le contact entre plaques tectoniques et la comparer à ces autres lois en ce qui concerne la stabilité dynamique et la propagation d’ondes.

• Modélisation asymptotique des interfaces. De nombreux problèmes de contact et d’interfaces sont caractérisés par la présence de plusieurs petits paramètres (couches de faible épaisseur, de faible rigidité, de faible viscosité, etc.). De nombreux travaux théoriques et numériques ont permis d’en déduire des lois d’interface par passage à la limite sur ces petits paramètres (en particulier l’épaisseur de l’interphase). Les derniers résultats obtenus concernent les interfaces rigides, les interfaces endommageables, les interfaces instables d’un point de vue matériel, etc. Ces lois d’interfaces sont maintenant appliquées en génie civil à la modélisation de structures maçonnées.

2) Formulation en dualité du contact avec frottement, estimation d’erreur en présence de contact

Un problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb en élasticité peut se formuler de façon primale (l’inconnue est alors le champ des déplacements), mixte (les inconnues sont les champs des déplacements et des vecteurs contraintes) ou duale (l’inconnue est le vecteur contrainte). Les deux premières formulations sont maintenant classiques et très utilisées d’un point de vue numérique, en particulier dans les codes de calculs commerciaux. Cela est loin d’être le cas pour la dernière. Elle est a la fois peu connue et généralement sous-estimée. Pourtant les résultats obtenus ces dernières années sont très prometteurs du point de vue mécanique (dimensionnement, analyse limite, estimation d’erreur). La formulation duale conduit à un problème d’inéquation quasi-variationnelle (les champs virtuels appartiennent à un ensemble convexe qui dépend de la solution). Nous avons mis au point un estimateur d’erreur primal-dual qui permet d’obtenir des critères de raffinement et de remaillage. Cet estimateur a été appliqué avec succès à des problèmes en deux dimensions.

3) Modèles et analyse de structures en contact unilatéral

Cela est étudié dans le cas du contact unilatéral strict, au sens de non régularisé, et sans frottement. Les résultats portent d’une part sur la construction et la justification asymptotique d’un problème d’obstacle pour des coques peu profondes, et d’autre part sur la caractérisation des solutions d’équilibre de membranes, puis de plaques et coques, en flexion contre un obstacle. Ce dernier point s’intègre dans un thème plus général qui est la construction de méthode de continuation pour des structures en contact unilatéral non régularisé.

4) Analyses mathématiques pour le problème de Signorini (contact unilatéral) avec frottement de Coulomb en quasistatique

Les enjeux liés à ces études mathématiques sont d’importance pour ces problèmes non réguliers. La question de la non unicité des solutions est cruciale pour la fiabilité des résultats fournis par les codes de calcul si des précautions minima ne sont pas prises. La compréhension de phénomènes particuliers et leur simulation passent par le développement de théories et d’outils mathématiques et numériques non triviaux.

• Etude de l’unicité de solution dans les problèmes d’évolution quasi-statique en élasticité linéarisée avec frottement de Coulomb au bord.

• Etude des problèmes de contact avec frottement pour les structures minces élastiques. Les problèmes de contact avec frottement des structures minces élastiques (comme les membranes ou les plaques) vis-à-vis d’un obstacle rigide permettent de mettre en évidence des discontinuités mobiles de vitesse. Il en résulte que le problème d’évolution correspondant n’admet pas de solution forte mais seulement faible. On étudie leur existence, unicité et un moyen de les calculer numériquement.

PUBLICATIONS PRINCIPALES SUR 4 ANS

• LEBON F., RONEL-IDRISSI, S., First order numerical analysis of linear thin layers, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 74, pp. 824-828, 2007
• KUSS, F., LEBON, F., Méthodes duales pour le contact frottant, Revue Européenne de Mécanique Numérique, vol. 16, pp. 33-51, 2007
• LEGER A. et POZZOLINI C., Sur la zone de contact entre une plaque élastique et un obstacle rigide. Comptes Rendus Mécanique, t. 335, 2007, p. 144-149.
• ABDELMOULA R., LEGER A., Asymptotic analysis of the effects of boundary conditions on the buckling of circular cylindrical shells’, European Journal of Mechanics A/Solids, Vol. 27, 2008, p. 706-729.
• CAPATINA A., COCOU M. and RAOUS M. A class of implicit variational inequalities and applications to frictional contact, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol. 32, 2009, pp. 1804-1827.
• DUMONT S., LEBON F., Numerical study of random materials. Statistical bounds of linear effective properties, Computational Mechanics, 2008.
• DUMONT S., LEBON F., Effective properties of linear random materials : application to Al/SiC and resin/glass composites, 42, Comput Mech, 2008, p. 775­-786.
• KUSS F., LEBON F., Stress based finite element methods for solving contact problems : comparisons between various solution methods, Advances in Engineering Software, 2008.
• LEBON F., RIZZONI, R., Asymptotic study of soft thin layer : the non convex case, Mechanics of Advanced Materials and Structures, Vol. 15, pp. 12-20, 2008
• LEGER A. et MIARA B., Mathematical justification of the obstacle problem in the case of a shallow shell, Journal of Elasticity, Vol. 90, 3, 2008, p. 241-257.
• LEGER A. et POZZOLINI C., Regularity and stability in the obstacle problem for a plate. in press, disponible en ligne, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, juillet 2008.
• FOUCHAL, F., LEBON, F., TITEUX, I., Contribution to the modelling of interfaces in masonry structures, Construction and Building Materials, 23, 2009, p.2428-2441.
• PELISSOU C., LEBON F., Asymptotic modeling of quasi-brittle interfaces Computers and Structures, 2009.
• RAOUS M., KARRAY M.A., Model coupling friction and adhesion for steel-concrete interfaces, International Journal of Computer Application in Technology, Vol. 34, No. 1, 2009, pp. 42-51.
• DEL PIERO G., RAOUS M., A unified model for adhesive interfaces with damage, viscosity, and friction, European J. Mechanics/Solids, 29(4), 2010, 496-507.
• RAOUS M., INterface models coupling adhesion and friction, thematic issue : Surface mechanics : facts and numerical models, CR Mécanique, to appear.
• BALLARD P., Frictional contact problems for elastic thin structures and weak solutions of sweeping processes, Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol. 198, 2010, pp. 789-833.
• GREGO L., LATIL J.-C., LEBON F. RAOUS M. and ROSU I., Multigrid methods for unilateral contact prolems with friction, (en préparation).

THESES SUR 4 ANS

 Thèses soutenues :

• KUSS F., " Méthodes duales pour le contact frottant ", dir. de thèse F.Lebon, bourse AMN, Université de Provence, juillet 2008.
• SCHRYVE M., " Modèle d’adhésion cicatrisante et applications au contact verre/élastomère ", dir. de thèse M. Raous et M. Cocou, bourse AMN, Université de Provence, novembre 2008.
• POZZOLINI C., Continuation en présence de contact, dir. A.Léger, allocation ministère, Université de Provence, janvier 2009.
• PAMPOLINI G., Endommagement cyclique pour les mousses et matériaux cellulaires, dir. M. Raous et G. Del Piero, Co-tutelle franco-italienne, allocation ministère, Université de Provence, novembre 2010.

 Thèses en cours :

• TERFAYA N., Modélisation des phénomènes de contact avec frottement et adhésion pour l’interaction pieu/sol en Génie Civil avec la méthode du bipotentiel, dir. M. Raous et A. Berga, Bourse algérienne.