Nos recherches portent sur la conception, le développement et l’analyse de méthodes numériques pour la propagation des ondes mécaniques dans des milieux complexes. Nous nous intéressons en particulier à la prise en compte des interfaces : celles-ci désignent les lieux de discontinuité des paramètres physiques, comme la frontière entre deux roches en géophysique, ou la frontière eau-sédiment en acoustique sous-marine.

1°) Construction d’une méthode d’interface.

L’étude numérique de tels problèmes physiques est délicate. Les schémas d’intégration (de type différences finies) ne prennent pas en compte les conditions de saut, d’où une description incorrecte du problème physique étudié. La représentation géométrique d’interfaces de forme quelconque sur un maillage cartésien régulier est peu précise. Enfin, les propriétés de précision des schémas sont dégradées au voisinage des interfaces.Les " méthodes d’interface " constituent alors une approche efficace. Citons l’ " Immersed Interface Method " (IIM), mise au point par LeVeque, Li et Zhang vers 1996. Cette méthode souffre cependant de défauts : faible stabilité, introduction de dispersion numérique, difficulté de couplage avec des schémas d’ordre élevé, impossibilité de traiter l’interface fluide-solide.Pour réduire ces défauts, nous avons développé une nouvelle méthode d’interface : l’ " Explicit Simplified Interface Method " (ESIM). Cette méthode se couple automatiquement à une large classe de schémas numériques pour un surcoût informatique négligeable. Des propriétés d’analyse numérique ont été démontrées en 1D. La méthode a été appliquée avec succès à plusieurs types d’interface, en 1D et 2D : fluide-fluide, solide-solide, fluide-vide, solide-vide, solide-vide, fluide-vide, contacts imparfaits.

2°) Applications.

a) Prise en compte de surfaces libres.

• Pour simplifier les simulations numériques en acoustique sous-marine et en géophysique, il est souvent avantageux de négliger la propagation des ondes acoustiques dans l’air. Pour ce faire, nous avons adapté la méthode d’interface à la prise en compte des conditions de Dirichlet. Nous avons aussi couplé la méthode obtenue à des schémas utilisés classiquement par les géophysiciens (schémas de Saenger). Les résultats ont été précisément quantifiés par le développement de solutions analytiques originales dans le domaine temporel. Ce travail fait l’objet d’une coopération avec Jean Virieux et son équipe (laboratoire Géosciences Azur).

b) Ondes et contacts imparfaits.

• Nous avons considéré les cas de contacts imparfaits décrits par des conditions de saut linéaires, ou " conditions de masse-ressort ". Celles-ci généralisent les notions de contact soudé ou glissant et modélisent de façon simple l’interaction des ondes élastiques avec des défauts de contact, comme des fractures du sous-sol (en géophysique). Nous étudions aussi des lois de contact non linéaires décrivant des fractures réalistes. L’objectif est de décrire finement le couplage entre l’évolution de fractures dynamiques et la propagation des ondes élastiques.

c) Développement de logiciel.

• Nous avons rassemblé nos outils numériques (schémas d’intégration, méthode d’interface, solutions analytiques, outils graphiques) au sein d’un même logiciel, développé avec Delphi sous Windows. Nous avons déposé auprès du Service du Partenariat et de la Valorisation du CNRS un dossier de valorisation pour ce logiciel, que nous avons également enregistré à l’Agence pour la Protection des Programmes.

PUBLICATIONS PRINCIPALES SUR 4 ANS

 1. Revues à comité de lecture·

• PIRAUX J., LOMBARD B., "A new interface method for hyperbolic problems with discontinuous coefficients : one-dimensional acoustic example", Journal of Computational Physics, vol 168-1 (2001), p. 227-248·
• PIRAUX J., LOMBARD B., "How to incorporate the spring-mass conditions in finite-difference schemes", SIAM Journal of Scientific Computing, vol 24-4 (2003), p. 1379-1407.·
• LOMBARD B., PIRAUX J., "Numerical treatment of two-dimensional interfaces for acoustic and elastic waves", Journal of Computational Physics, 195-1 (2004), p. 90-116.
• LOMBARD B., DONAT R., "The Explicit Simplified Interface Method for compressible multicomponent flows", SIAM Journal of Scientific Computing, vol 27-1 (2005), p. 208-230.
• LOMBARD B., PIRAUX J., "Numerical modelling of 2D elastic waves across linear imperfect interfaces", SIAM Journal of Scientific Computing, vol 28-1 (2006), p. 172-205.
• LOMBARD B., PIRAUX J., "Modeling 1-D elastic P-waves in a fractured rock with hyperbolic jump conditions", Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 204-2 (2007), p. 292-305.
• LOMBARD B., PIRAUX J., GELIS C., VIRIEUX J., "Free and smooth boundaries in 2-D finite-difference schemes for transient elastic waves", Geophysical Journal International, vol 172 (2008), p. 252-261.
• CHIAVASSA G., LOMBARD B., PIRAUX J., "Numerical modeling of 1-D transient poroelastic waves in the low-frequency range", soumis au Journal of Computational and Applied Mathematics, (2007).

THESES SUR 4 ANS

 Thèses soutenues :

• LOMBARD B. : " Modélisation numérique de la propagation des ondes acoustiques et élastiques en présence d’interfaces. " Directeur de thèse : J.Piraux. Financement : bourse du Ministère de l’Education nationale. Thèse soutenue le 4 janvier 2002 à l’Université de la Méditerranée.