Dans son contexte numérique, cette contribution a permis de concevoir et de développer un outil de modélisation et de simulation du comportement mécanique des structures constituées par des matériaux polycristallins considérés comme des milieux périodiques. La démarche numérique suivie est celle des EF2 : on discrétise la structure en éléments finis et on considère que chaque point d’intégration macroscopique du maillage de la structure est une cellule de base constituée par des monocristaux. Ces cellules de base sont elles-mêmes discrétisées en éléments finis. La transition entre les deux échelles géométriques est assurée par la technique d’homogénéisation périodique. Ainsi l’apport de notre démarche numérique est effectué sur trois échelles géométriques différentes : le monocristal, le polycristal et la structure polycristalline.

À l’échelle du monocristal, nous avons développé deux algorithmes numériques permettant d’intégrer la loi de comportement monocristalline. Le premier s’appuie mécaniquement sur la condition de consistance ou de cohérence. Cette condition se traduit mathématiquement par une condition de complémentarité entre deux variables positives exprimées linéairement en fonction des inconnues du problème. La formulation générale de cette condition s’écrit donc sous la forme d’un problème de complémentarité linéaire (LCP). Le second algorithme se base mécaniquement sur le théorème du travail maximal de Hill et numériquement sur les travaux de Moreau sur les problèmes de type « râfle par un convexe variable ». L’éventuelle non-linéarité de la loi d’écrouissage est traitée en approchant l’écrouissage exponentiel non-linéaire par un écrouissage linéaire par morceau (pour le premier algorithme) et par un comportement élastoplastique parfait par morceau (pour le second algorithme). Ces deux algorithmes sont, à priori, extensibles à d’autres réseaux cristallins (CC, HCP…) et à d’autres lois d’écrouissage. L’éventuel problème de la non-unicité des vitesses de glissement est traité, pour les deux algorithmes, par l’introduction d’une petite perturbation positive des cissions critiques. Cette perturbation peut être interprétée comme résultante d’une imperfection matérielle ou d’un faible écrouissage anisotrope antérieur.

À l’échelle du polycristal, et sur le plan théorique, nous avons montré, avec des hypothèses naturelles dans le cas des milieux périodiques, que l’homogénéisation périodique assure une équivalence entre certaines grandeurs macroscopiques sthéniques, cinématiques et énergétiques en formulation lagrangienne avec leurs homologues en formulation eulérienne. Sur le plan pratique, nous avons intégré le problème d’évolution élastoplastique issu des équations d’homogénéisation périodique en grandes transformations élastoplastiques. Ce problème est résolu par la méthode des éléments finis et il se distingue d’un problème d’évolution classique par le type de chargement et les conditions aux limites. En effet, le chargement s’effectue en moyenne, c’est-à-dire on impose une vitesse de déformation macroscopique ou un tenseur de contrainte de Cauchy macroscopique constante sur la cellule de base (ou des composantes complémentaires des deux tenseurs). Cette difficulté est techniquement affranchie en ajoutant un ensemble des ddls macroscopiques à chaque élément du maillage éléments finis de la cellule de base. Pour les conditions aux limites, des conditions originales de périodicité des champs de déplacement et de contrainte sont posées sur le bord de la cellule de base. À l’échelle de la structure, deux difficultés technique qui ont été surmontées. La première concerne la méthode utilisée pour déterminer l’opérateur tangent élastoplastique macroscopique par condensation des matrices tangentes microscopiques (au sens des éléments finis). La seconde difficulté consiste en la méthode utilisée pour déterminer le chargement macroscopique en fonction de la position spatiale macroscopique en se basant sur les résultats d’équivalence théoriques établies dans la partie relative au polycristal.