Nos actions de recherche sont centrées sur la modélisation et l’analyse de comportements complexes (adhésion, frottement,…), sous sollicitations dynamiques, des solides (visco)élastiques, soumis à des conditions strictes de contact unilatéral, et des systèmes discrets avec liaisons unilatérales. Les méthodes pour résoudre les problèmes d’évolution de contact utilisent l’analyse fonctionnelle appliquée et l’analyse numérique. Nos recherches portent sur :

- la propagation d’ondes en présence de contraintes unilatérales,

- l’exploration de la dynamique de systèmes simples en présence de frottement de Coulomb,

- l’étude de la stabilité de systèmes discrets simples,

- l’analyse mathématique de problèmes dynamiques de contact unilatéral avec adhésion et frottement en (visco)élasticité,

- l’analyse numérique de problèmes semi-discrets et totalement discrets,

- modélisation du contact roue/sol.

Une première direction de recherche concerne la propagation d’ondes en milieux élastiques et viscoélastiques en présence du contact unilatéral et du frottement et les applications à la détection de fissures fermées. Ce projet a été mené en collaboration avec EDF (J.L.Vaudescal, A. Léger) et l’INRIA (P.Joly, E.Bécache) et a fait l’objet de la thèse de G. Scarella. Il s’agit tout d’abord d’un travail théorique qui concerne la formulation et l’étude mathématique (existence des solutions) d’une classe de problèmes dynamiques de contact unilatéral dans un milieu fissuré. Du point de vue mathématique, les principales difficultés sont liées à la prise en compte du contact unilatéral strict (non interpénétration des lèvres d’une fissure), du comportement purement élastique et du frottement. En introduisant une représentation convenable, qui permet de paramétrer la fissure et d’exprimer les conditions aux limites de type contact unilatéral et frottement, plusieurs formulations ont été considérées : formulation classique en déplacements, formulation variationnelle primale, mixte (en déplacements et contraintes) et une formulation en domaines fictifs. Le problème dynamique de contact unilatéral a été étudié dans le cas avec frottement non local pour un milieu viscoélastique fissuré et pour deux milieux viscoélastiques. La méthode utilisée a été une pénalisation de la condition de contact. Par un nouveau résultat général d’existence et d’unicité de la solution d’une inéquation d’évolution, on a montré l’existence et l’unicité des solutions pénalisées et on a obtenu l’existence inconditionnelle d’une solution du problème initial. Les résultats déjà obtenus pour le contact unilatéral, même dans le cas viscoélastique classique, concernaient soit le cas sans frottement, soit le frottement de Tresca (donné).

Une deuxième direction de recherche est constituée par l’étude de la dynamique des systèmes discrets, collections de points matériels ou solides rigides, en présence de contact unilatéral et de frottement de Coulomb. Cette direction de recherche comporte essentiellement trois axes, étroitement imbriqués.

 Etude du problème de Cauchy

Ce premier axe est la formulation de la dynamique, et en corollaire son caractère bien posé. Si l’on sait depuis les travaux de Jean-Jacques Moreau que la présence de chocs, qui signifie que la vitesse ne peut pas être une fonction continue mais seulement une fonction à variation bornée, impose que la dynamique soit écrite au sens des mesures, il restait à montrer que la dynamique ainsi écrite conduisait à un problème de Cauchy bien posé. Après les travaux de P. Ballard dans le cas sans frottement, on a montré dans le cas d’un système simple masse ponctuelle / ressorts que le problème de Cauchy est bien posé si le système est soumis à des forces extérieures analytiques, alors que, à la suite de M. Schatzman, D. Percivale et P. Ballard, était construit un contre-exemple à l’unicité si les forces extérieures sont indéfiniment différentiables. Mais la formulation correspondante ne permet pas de conclure à des conditions d’unicité de la réponse dans le cas de certains systèmes de points plus complexes, ni surtout dans le cas de la dynamique des solides rigides.

 Stabilité des états d’équilibre

Disposant de résultats sur l’unicité de la trajectoire dès qu’étaient fournies des conditions initiales, il devenait possible d’étudier rigoureusement la stabilité des états d’équilibre. On avait montré que des systèmes simples en présence de contact unilatéral et de frottement de Coulomb non régularisés peuvent posséder une infinité d’états d’équilibre. Leur stabilité a été analysée par une étude dynamique directe : étant donné un état d’équilibre, on choisit une donnée initiale quelconque dans un voisinage de l’équilibre dans un espace de phases classique et l’on calcule, de manière analytique pour les cas simples ou par la convergence d’itérés de type time-stepping en général, l’évolution en temps de la distance entre la trajectoire correspondante et l’équilibre. On note qu’avant les résultats sur le caractère bien posé de la dynamique, soit des versions des théorèmes classiques de stabilité, soit des études éventuellement numériques des trajectoires, ne fournissaient des résultats de stabilité qu’incomplètement justifiés. Ces travaux sur la stabilité comprennent en partie maintenant une nouvelle conception de la stabilité dans laquelle ce ne sont plus les données initiales mais les forces extérieures qui sont perturbées. Cela a donné de premiers résultats de stabilisation dans lesquels on a montré qu’un état d’équilibre en glissement imminent perturbé par une force extérieure analytique quelconque prend une trajectoire qui l’amène en temps fini dans un état d’équilibre strictement bloqué à l’intérieur du cône de Coulomb.

 Exploration de certaines trajectoires

Ce dernier axe concerne l’exploration de la trajectoire de systèmes simples en fonction de leurs paramètres. Cela n’a été fait pour l’instant que dans le cas du contact bilatéral, toujours avec frottement de Coulomb non régularisé. Pour une chaine de masses soumise à une traction extérieure, on a montré qu’il existe des valeurs critiques de l’amplitude des forces à l’approche desquelles certaines caractéristiques de la trajectoire, par exemple le nombre d’oscillations, tendent vers l’infini, et au passage desquelles la dynamique change qualitativement. On a déduit de ces études un dispositif de type absorbeur de chocs par lequel une masse importante arrivant à vitesse élevée peut être arrêtée de manière monotone et régulière par une chaine de petites masses initialement immobiles.

Une quatrième direction de recherche concerne l’extension des résultats obtenus sur le contact entre deux solides viscoélastiques au couplage avec l’adhésion et, plus généralement, aux interactions de contact : des résultats d’existence de solutions ont été obtenus dans le cas du contact unilatéral avec adhésion et frottement entre deux solides viscoélastiques, pour la loi d’adhésion proposée par M. Raous, L. Cangémi et M. Cocou ainsi que pour des lois plus générales.

Une cinquième direction de recherche est constituée par l’analyse numérique et résolution des problèmes dynamiques de contact. Des résultats de convergence pour une méthode de pénalisation appliquée aux formulations primales des problèmes avec contact unilatéral, estimations d’erreurs pour les approximations semi-discrètes et des résultats sur la stabilité des approximations totalement discrètes associées ont été obtenus.

Une sixième direction de recherche concerne la modélisation du contact roue/sol. Ce travail est une collaboration entre Airbus France et le LMA dans le cadre du projet TAMTAM, dont le but est de mettre en place un outil numérique de prédiction du comportement mécanique d’un pneu de train avant d’avion en contact avec le sol. Cet outil doit permettre à terme d’évaluer de façon précise, même à de grandes vitesses, dans des conditions extrêmes et critiques pour la sécurité de l’avion, les efforts appliqués au pneu. Ce travail s’appuie sur une double expertise, à savoir les campagnes d’essais menées par Airbus pour des vitesses inférieures à 90 km/h et des études, conduites ces trois dernières années par le LMA, portant sur la faisabilité numérique d’obtenir un tel outil de prédiction. Les résultats obtenus ont confirmé, malgré des coûts de calcul encore très importants, la puissance d’un outil numérique par éléments finis pour de telles études. Les expériences menées par Airbus à des vitesses modérées permettent d’obtenir le torseur des efforts subis par le pneumatique et les variations de température. Un point très important d’un point de vue industriel est la compréhension de l’existence d’un angle « critique », observé expérimentalement à petite vitesse, au-delà duquel apparaissent une chute du rapport force tangentielle/force normale et une chute rapide vers zéro (quelquefois par valeur inférieure) du moment d’auto-alignement. Il est crucial d’un point de vue mécanique de pouvoir comprendre ces phénomènes très fortement non linéaires afin de maîtriser et de caractériser leur évolution à des vitesses encore inaccessibles expérimentalement. Il est aussi important dans ce contexte de connaître l’influence de la structure et de la forme du pneumatique. La simulation est donc l’outil indispensable afin d’obtenir une réponse aux questions industrielles posées. D’un point de vue de la modélisation numérique, les algorithmes doivent tenir compte des hétérogénéités des matériaux, des grandes déformations élastiques, du contact, du frottement, voire de l’usure et des couplages thermiques.

PUBLICATIONS PRINCIPALES SUR 4 ANS

 1. Activités d’édition

• JEAN M., CAMBOU B., RADJAI F. (eds.) Micromechanics of Granular Materials, ISTE Ltd, London, and John Wiley & Sons, Hoboken, 2009.
• LEGER A., DESCHAMPS M. (eds.) Etude de la propagation ultrasonore en milieux non homogènes en vue du contrôle non destructif, Proceedings du GDR-US, GDR 2501, Aussois 8-12.12.2003, INRIA Editions, 2004 (287 pages).
• LEGER A., DESCHAMPS M. (eds.) Etude de la propagation ultrasonore en milieux non homogènes en vue du contrôle non destructif, Proceedings du GDR-US, GDR 2501, Giens 15-19.05.2006, INRIA Editions, à paraître.
• LEGER A., DESCHAMPS M. (eds.) Ultrasonic wave propagation in non homogeneous media, Springer Series on Wave Phenomena, Springer, Heidelberg, 2008 (425 pages).

 2. Contributions à des ouvrages de synthèse

• BALLARD P., LEGER A., PRATT E., Stability of discrete systems involving shocks and friction, dans "Analysis and Simulation of Contact Problems", Wriggers P. and Nackenhorst U. (eds.), Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics Vol. 27, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, pp. 343-351, 2006.
• BALLARD P., Frictionless Unilateral Multibody Dynamics, dans "Micromechanics of Granular Materials", Cambou B., Jean M., Radjaï F. (eds.), ISTE Ltd, London, and John Wiley & Sons, Hoboken, pp. 317-341, 2009.
• COCOU M., SCARELLA G., Analysis of a class of dynamic unilateral contact problems with friction for viscoelastic bodies, dans "Analysis and Simulation of Contact Problems", Wriggers P. and Nackenhorst U. (eds.), Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics Vol. 27, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, pp. 137-144, 2006.
• COCOU M., Coupled implicit variational inequalities and dynamic contact interactions in viscoelasticity, dans Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, Stavroulakis G.E. (ed.), Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, pp. 1-18, à paraître.
• JEAN M., Numerical Simulation of Granular Materials, dans "Micromechanics of Granular Materials", Cambou B., Jean M., Radjaï F. (eds.), ISTE Ltd, London, and John Wiley & Sons, Hoboken, pp. 149-315, 2009.
• LEGER A., LICHT C., LEBON F., Dynamics of elastic bodies connected by a thin adhesive layer, dans "Ultrasonic wave propagation in non homogeneous media", Deschamps M. and Léger A. (eds.), Springer Series on Wave Phenomena, Springer 2008.

 3. Revues à comité de lecture

• BALLARD P., BASSEVILLE, Existence and uniqueness for dynamical unilateral contact with Coulomb friction : a model problem, M2AN ESAIM : Modélisation Mathématique et Analyse Numérique, Vol. 39, 59-77, 2005.
• BASSEVILLE S., LEGER A., Stability of equilibrium states of a simple system with unilateral contact and Coulomb friction, Archive of Applied Mechanics, Vol. 76, 403-428, 2006.
• COCOU M., SCARELLA G., Existence of a solution to a dynamic unilateral contact problem for a cracked viscoelastic body, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, t. 338, 341-346, 2004.
• COCOU M., SCARELLA G., Analysis of a dynamic unilateral contact problem for a cracked viscoelastic body, Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), Vol. 57, 523-546, 2006.
• PRATT E., LEGER A., JEAN M., Critical oscillations of mass–spring systems due to nonsmooth friction, Archive of Applied Mechanics, Vol. 78, 89-104, 2008.
• PRATT E., LEGER A., JEAN M., About a stability conjecture concerning unilateral contact with friction, Nonlinear Dynamics, Vol. 59, 73-94, 2010.
• COCOU M., SCHRYVE M., RAOUS M., A dynamic unilateral contact problem with adhesion and friction in viscoelasticity, Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), Vol. 61, 721-743, 2010.

THESES SUR 4 ANS

 Thèse soutenue :

• Ange KONGO KONDE : "Modélisation du roulement d’un pneumatique d’avion", directeurs de thèse : Frédéric Lebon et Iulian Rosu, Thèse CIFRE, janvier 2011.

 Thèses en cours :

• Loréline BARBIE : "Développement de méthodes multigrilles pour la modélisation 3D de l’interaction mécanique pastille-gaine", directeurs de thèse : Frédéric Lebon et Isabelle Ramière, Bourse CEA, octobre 2010.
• Natacha COCHETEAU : "Modélisation de l’adhérence moléculaire", directeurs de thèse : Frédéric Lebon, Sonia Ait Zaid et Yves Salaun, Bourse CNES/Winlight Optics, novembre 2010.
• Alexandre CHARLES : "Dynamique des systèmes discrets avec liaisons unilatérales et frottement", directeur de thèse : Patrick Ballard, Allocation Spécifique Polytechnicien (AMX), octobre 2010.