LMA - Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique

P. Vigué - Solutions périodiques et quasi-périodiques de systèmes dynamiques d’ordre entier ou fractionnaire - Applications à la corde frottée (21 septembre 2017)

AMPHITHÉÂTRE FRANÇOIS CANAC

Le 21 septembre 2017 à 14h00

Les solutions périodiques de systèmes non linéaires modélisés par des ODE à paramètre, et leur évolution selon les paramètres, sont étudiées dans le cas de la corde frottée. Les méthodes numériques (MAN, HBM) nécessitent des modifications pour aborder ce type de système.

Encadrement

  • Directeur : C. Vergez
  • Co-directeur : B. Cochelin
  • Organisme rémunérant : contrat doctoral normalien (ENS Rennes)

Jury

  • José Antunes - Rapporteur, Principal Researcher, ITN, Sacavém
  • Olivier Thomas - Rapporteur, Professeur, LSIS, Lille
  • Sébastien Baguet - Examinateur, Maître de conférences, INSA/LaMCoS, Lyon
  • Gaëtan Kerschen - Examinateur, Professeur, LTAS, Liège
  • Christophe Vergez - Directeur de thèse, Directeur de recherche CNRS, LMA, Marseille
  • Bruno Cochelin - Co-directeur de thèse, Professeur, ECM/LMA, Marseille

Résumé

L’étude par continuation des solutions périodiques et quasi-périodiques est appliquée à plusieurs modèles issus du violon. La continuation pour un modèle à un degré de liberté avec friction régularisée permet de montrer la préservation, par rapport à la friction de Coulomb, des bifurcations de cycle limite (une vitesse maximale et une force minimale permettant le mouvement de Helmholtz) et de propriétés globales de la branche de solution (comme la croissance de l’amplitude avec la vitesse, ou la décroissance de la fréquence avec la force normale). La méthode d’équilibrage harmonique est évaluée sur le système à friction régularisée et présente des propriétés de convergence intéressantes (erreur faible, monotone, à décroissance rapide). La continuation sur un modèle à deux modes donne accès aux solutions de registres supérieurs, dont la stabilité coïncide avec l’expérience. La valeur retenue pour l’inharmonicité peut modifier fortement le diagramme de bifurcation. Une nouvelle méthode de continuation des solutions quasi-périodiques est proposée. Elle associe l’équilibrage harmonique étendu à deux pulsations avec la Méthode Asymptotique Numérique. Une attention particulière est portée à la rapidité des calculs, face à la croissance rapide de la taille des systèmes à inverser. Un modèle de friction prenant en compte la température au point de contact est reformulé à l’aide d’une dérivée fractionnaire. Nous proposons alors une méthode de continuation de solutions périodiques de systèmes différentiels contenant des dérivées ou intégrales fractionnaires. La définition plus souvent adoptée pour les opérateurs fractionnaires se restreint aux solutions causales, ce qui empêche l’existence de solutions périodiques. Ayant adopté une définition particulière des opérateurs pour contourner cette difficulté, nous établissons une condition suffisante pour que les cycles obtenus asymptotiquement dans le cadre causal soient solutions du cadre que nous avons choisi.

Voir en ligne : Page personnelle de Pierre Vigué