Un certain nombre de modèles en mécanique et en physique font apparaître des surfaces mobiles dont les positions font partie des inconnues du problème. Le modèle de Stefan pour la solidification en est un exemple. Le front de solidification/fonte est à une température donnée et est de plus le siège d’un saut de gradient de température (le saut de flux de chaleur correspond à la chaleur latente impliquée dans le changement de phase).

Deux grandes familles d’algorithmes numériques existent pour la résolution des modèles à front mobiles. Les approches dites de "front capturing" et les approches dites de "front tracking". Dans le premier cas, le maillage n’est pas conforme aux fronts et peut de ce fait être fixe. La présence du front à l’intérieur des éléments est prise en compte de manière moyennée ou précise (par exemple via des intégrations de part et autres du front et l’ajout de degré de liberté d’enrichissement).

Dans les approches dites de tracking, le maillage se déforme pour coller aux fronts et les algorithmes peuvent rester assez standards (si ce n’est pour le terme de convection qui doit être ajouté). La précision est très bonne car le saut de gradient sur le front (ou autre quantité) est directement pris en compte par l’approximation séparée de part et d’autre du front.
L’approche "tracking" a cependant des limites importantes : les changements topologiques ne sont pas pris en compte et la propagation de front sur de grande distance n’est pas possible car menant à des écrasements du maillage.

L’approche X-MESH pousse les approches de tracking vers de nouvelles possibilités : les changements topologiques sont pris en compte et le suivi de front peut se faire sur de longue distance. Cela est rendu possible par le fait que les noeuds qui localisent le front ne sont pas toujours les mêmes. Un noeud qui porte le front peut le céder à un ou plusieurs autre (comme dans une course relais). Dans un processus continu, il faut imaginer que les éléments passent par une taille nulle. L’approche X-MESH autorise une déformation eXtreme des éléments jusqu’à une taille nulle.
L’approche X-MESH sera illustrée sur le problème de Stefan et son application en cours à d’autres domaines sera également discutée.

Les collaborateurs actuels sur le projet X-MESH sont J.-F. Remacle et J. Lambrechts (UC Louvain, Belgique) et N. Moës, N. Chevaugeon et B. Le (EC Nantes).
Reférence : https://arxiv.org/abs/2111.04179v1