Cet exposé commencera par la présentation des travaux effectués durant ma thèse, portant sur l’étude d’une méthode de type Galerkin discontinu en domaine temporel (GDDT), afin de résoudre numériquement les équations de Maxwell instationnaires sur des maillages hybrides tétraédriques/hexaédriques en 3D (triangulaires/quadrangulaires en 2D) et non-conformes, que l’on note méthode GDDT-PpQk. Comme dans différents travaux déjà réalisés sur plusieurs méthodes hybrides, l’objectif principal est de mailler des objets ayant une géométrie complexe à l’aide de tétraèdres, pour obtenir une précision optimale, et de mailler le reste du domaine (le vide environnant) à l’aide d’hexaèdres impliquant un gain en terme de mémoire et de temps de calcul. Dans la méthode GDDT considérée, des schémas de discrétisation spatiale basés sur une interpolation polynomiale nodale, d’ordre arbitraire, sont utilisés pour approximer le champ électromagnétique, ainsi qu’un flux centré pour approcher les intégrales de surface et un schéma d’intégration en temps de type saute-mouton d’ordre deux ou d’ordre quatre. Après avoir introduit les étapes de la méthode GDDT-PpQk, je présenterai le résultat de l’analyse de stabilité L2 théorique de cette méthode (en exhibant une condition suffisante de stabilité de type CFL sur le pas de temps), ainsi que l’analyse de convergence en h, conduisant à un estimateur d’erreur a-priori. Enfin, j’exposerai les différents résultats numériques obtenus : une étude complète en 2D (pour différents cas tests, en maillages hybrides et non-conformes, et pour des milieux de propagation homogènes ou hétérogènes), suivie de la mise en oeuvre en 3D de la méthode GDDT-PpQk. Cette dernière comportant des simulations réalistes, comme par exemple la propagation d’une onde électromagnétique dans un modèle hétérogène de tête humaine, je conclurai en montrant la cohérence entre les résultats mathématiques et numériques de cette méthode GDDT-PpQk, ainsi que ses apports en termes de précision et de temps de calcul.
Je terminerai ce séminaire en faisant le lien avec le projet que j’effectue actuellement en postdoc au LMA (financé par la fondation Del Duca de l’Académie des Sciences), dans l’équipe Ondes et Imagerie (encadré par Dimitri Komatitsch, Paul Cristini et Cédric Bellis), où je travaille sur une méthode d’éléments finis spectraux, pour des problèmes d’inversion et d’imagerie, en utilisant des ondes acoustiques et sismiques, ainsi que le calcul haute peformance.
