Cet exposé va présenter quelques aspects, d’abord introductifs, puis plus récents de la mécanique non régulière. Nombre de situations, conditions au bord ou lois de comportement, fournissent des exemples de non régularité en mécanique. On se concentrera principalement sur le cas du contact et du frottement dont l’introduction en mécanique des milieux continus conduit à des problèmes mathématiques ouverts et difficiles. Ce sont alors des modèles simples qui, pour autant qu’ils soient bien choisis, apportent des informations qualitatives là où des modèles plus proches de la physique seraient inaccessibles.

En présentant le problème, on rappellera tout d’abord que la non régularité supprime la possibilité de se référer au cadre classique de la théorie des équations différentielles ou aux dérivées partielles. Après quelques résultats, énoncés dans le cas d’un système mécanique très simple mais généralisables à tous les problèmes discrets, une partie importante de l’exposé sera consacrée à l’étude de la réponse à une sollicitation périodique comme cela est classique dans l’étude qualitative des systèmes dynamiques.

Dans un premier temps le système mécanique sera linéaire. Une attention particulière sera portée à la transition entre des zones de comportement différent, et l’on notera qu’aucune transition au chaos n’est observée bien que la non linéarité, due au contact et au frottement, soit très violente puisqu’elle n’est même pas représentable par une fonction.

Dans un deuxième temps on ajoutera une non linéarité régulière de type grandes déformations. On verra alors que la réponse peut comprendre des zones de comportement non périodique, ce qui amènera, à interroger le couplage entre différents types de non linéarités. Un parallèle sera fait, en forme de conjecture et de conclusion, avec les bifurcations d’états d’équilibre de structures élastoplastiques géométriquement non linéaires.