Je présenterai dans cet exposé des résultats récents concernant l’analyse des équations de Navier-Stokes sous une contrainte de densité maximale. Ces équations couplent une dynamique compressible dans les régions de faible densité avec une dynamique incompressible dans les zones congestionnées où la densité est maximale. Ce type de système est particulièrement pertinent pour la modélisation de mélanges ou de mouvements collectifs.
Je montrerai que des solutions peuvent être obtenues comme limites de solutions d’équations de Navier-Stokes compressibles avec loi d’état singulière. Dans une certaine mesure, cette limite singulière est analogue à une limite faible nombre de Mach locale et je montrerai comment d’un point de vue numérique on peut s’inspirer des récents schémas à faible nombre de Mach pour la simulation de phénomènes de congestion.
