L’objet d’étude des travaux présentés est la propagation d’ondes scalaires en 2D (par exemple des ondes élastiques antiplanes) dans des structures périodiques. Pour simplifier la modélisation, on utilise le processus d’homogénéisation double-échelle [1], poussé à l’ordre deux pour mieux décrire le régime de "moyennes" longueurs d’ondes (de l’ordre de quelques diamètres de cellule unité / VER). En particulier, le modèle d’ordre 2 décrit la dispersion effective du milieu alors que le modèle homogénéisé d’ordre 0, valable à la limite quasistatique, est non dispersif.
Après une rapide revue de ce modèle, je présenterai des résultats [2] obtenus en collaboration avec Marc Bonnet et Bojan Guzina. Nous avons considéré de petites perturbations de la cellule unité qui définit le milieu (typiquement, l’ajout d’un peu de masse et/ou de raideur dans un disque de petite taille autour d’un point de cette cellule), et calculé les dérivées topologiques des coefficients apparaissant dans le modèle d’ordre 2, qui décrivent la sensibilité de ce modèle à une telle perturbation.
Je donnerai ensuite des exemples d’application de ces dérivées topologique pour calculer des coefficients homogénéisés approchés, pour identifier les propriétés de structures périodiques simples à partir de mesures de dispersion effective, et pour diriger des algorithmes d’optimisation de structures. Cette troisième application est l’objet de mon post-doc avec Cédric Bellis et Bruno Lombard. Pour la résolution des problèmes de cellule qui interviennent dans le processus d’homogénéisation et dans le calcul des dérivées topologiques, on verra qu’elle profite considérablement de l’approche par FFT développée au LMA (par Hervé Moulinec, Pierre Suquet ...).
[1] Développé depuis les années 70 avec les travaux de Sanchez-Palencia, Bensoussan, Papanicolaou, Boutin (entre autres) et toujours au goût du jour, cf par exemple : Wautier & Guzina (2015) On the second-order homogenization of wave motion in periodic media and the sound of a chessboard, Journal of the Mechanics and Physics of Solids
[2] Bonnet, Cornaggia & Guzina (2018) Microstructural topological sensitivities of the second-order macroscopic model for waves in periodic media. SIAM Journal on Applied Mathematics
