On s’intéresse dans cet exposé à des matériaux élastiques hétérogènes, modélisés par une microstructure aléatoire et stationnaire. Les propriétés homogénéisées sont alors déterministes, et leur détermination nécessite la résolution d’un problème auxiliaire d’équilibre élastique, posé dans tout l’espace. En pratique, des approximations sont nécessaires. Les méthodes en champ complet considèrent typiquement un domaine grand mais fini, sur lequel on résout le problème auxiliaire muni de conditions aux limites adéquates (par exemple, périodiques). A cause de cette troncature, les propriétés homogénéisées apparentes sont aléatoires. Une quantité d’intérêt naturelle est alors l’espérance de ces propriétés apparentes (i.e. la moyenne sur toutes les réalisations possibles de la microstructure). Une méthode simpliste est de considérer plusieurs microstructures, et de moyenner les propriétés apparentes associées à chacune d’entre elles.
On présentera plusieurs méthodes permettant d’améliorer l’efficacité du calcul, soit en choisissant a priori des microstructures plus représentatives que d’autres [1], soit en utilisant des modèles approchés (par exemple construits à partir du principe variationnel de Hashin-Shtrikman) permettant de réduire le bruit statistique dans les calculs en champ complet.
Enfin, pour certains types de microstructures, on présentera une méthode fondée sur une formulation équations intégrales du problème, et permettant de considérer des RVE de très grande taille [2,3].
Travaux en collaboration avec S. Brisard, E. Cancès, V. Ehrlacher, C. Le Bris, W. Minvielle, B. Stamm et S. Xiang.
Références :
[1] C. Le Bris, F. Legoll et W. Minvielle, Special Quasirandom Structures : a selection approach for stochastic homogenization, Monte Carlo Methods and Applications, vol. 22 (1), 25-54 (2016).
[2] E. Cancès, V. Ehrlacher, F. Legoll, B. Stamm et S. Xiang, An embedded corrector problem for homogenization. Part I : Theory, HAL preprint 01840993.
[3] E. Cancès, V. Ehrlacher, F. Legoll, B. Stamm et S. Xiang, An embedded corrector problem for homogenization. Part II : Algorithms and discretization, HAL preprint 01903486.
