Résumé :
Le système de Serre-Green-Naghdi (SGN) est un modèle fortement non-linéaire et faiblement dispersif pour la propagation des vagues. Il possède une structure variationnelle intéressante, et le problème de Cauchy est bien posé dans des espaces de Sobolev d’indice suffisamment élevés. Pour autant, ce système n’est pas exploitable pour une utilisation dans des cas pratiques, parce que sa résolution numérique demande d’inverser un opérateur elliptique à chaque pas de temps.

Nicolas Favrie et Sergey Gavrilyuk ont récemment proposé une stratégie pour construire efficacement des solutions approchées, via un système quasilinéaire de lois de bilan utilisant des variables additionnelles et un paramètre libre. Formellement, les solutions du système augmenté convergent vers les solutions de SGN lorsque ce paramètre tend vers l’infini. Nous discuterons une démonstration rigoureuse, en insistant sur l’importance du paramètre d’eau peu profond et de la préparation de la donnée initiale. Ce sera l’occasion de parler de la méthode d’énergie et son utilisation dans les problèmes de limite singulière (typiquement bas Mach), et d’exhiber les difficultés supplémentaires liés à la présence de termes sources d’ordre zéro dans notre cadre où deux paramètres singuliers cohabitent.