Christelle Saade

Space-time isogeometric methods for multi-field problems in mechanics

Abstract : Engineering and applied mathematics problems can be solved by many numerical methods. One of these methods is the widely adopted finite element method (FEM) [1].The finite elements method is generally applied in the discretization of space and often associated to a time stepping method such as the finite differences for the time resolution. Space-time discretization consists of considering time dependance as spatial dependance and a space-time variational principle is used. The very first publications on space-time methods began to show in the late 60s, one of them are by Oden [3] who employed the space-time method using Hamilton’s principle for dynamics. While the finite element method is widely used and proved to be effcient in lots of mathematical physics and engineering problems, it has also some limitations. In fact, in this method in general the solution is built with a low order continuity, typically C0-continuous interpolation on the boundary of the element. The isogeometric analysis(IGA) was recently introduced by Hughes and al. in 2005 [2] as a numerical method that offers real perspectives in the integration of geometric and computational models. It uses the same basis functions (B-splines and NURBS) for both describing the geometry of the computational domain and approximating the solution. It allows, on one hand, to exactly represent complex geometries, and on the other hand, to enrich the approximation basis compared to classical Lagrange polynomials (higher order of continuity between elements) which is highly important due to the fact that complex geometries can be made and represented in CAD design tools. The objective of this work is to take benefit of these properties to extend the solution in space, as classically associated to a finite differences method in time, to the space-time domain and to evaluate isogeometric analysis for space-time problems, i.e. to discretize both, the space and the time with isogeometric analysis. The space-time IGA is used for the resolution of elastodynamics and multiphysics problems. Linear and nonlinear equations are treated, small and finite strains are considered in our study. We solve the problems in 1D and in 2D, and optimal convergence rates are obtained, showing that space-time methods offer interesting perspectives for the resolution of various numerical problems in mechanics. We expect from these methods more stable and robust schemes compared to standard schemes such as the HHT or Newmark type methods, and larger time steps employed in discretization.

REFERENCES :
[1] Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L. The finite element method. McGraw Hill, Vol. I., (1989), Vol. II., (1991).
[2] Hughes, T.J.R., Cotrell, J.A. and Bazilevs, Y. Isogeometric analysis : CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 194, 39-41:4135-4195(2005).
[3] Oden, J. Tinsley A general theory of finite elements. II. Applications. International Journal for Numerical Methods in Engineering, (1969).

Marion Volpe

Création d’un système de mesures acoustiques de référence en basse fréquence et fort niveau : Le Short Kundt Tube

Résumé : De nombreux absorbeurs acoustiques dédiés à la réduction du bruit à basse fréquence sont basés sur des propriétés non linéaires. Sous hypothèse linéaire, l’impédance d’entrée permet de décrire le comportement d’un absorbeur de bruit, considéré comme un système acoustique à un port. A noter que dans un guide d’ondes et en pour une onde plane, l’impédance d’entrée est définie pour toute section transversale du guide comme le rapport entre la pression acoustique moyenne et la vitesse volumique. De manière équivalente, les absorbeurs peuvent être caractérisés par un coefficient de réflexion.
L’objectif de ce travail est de développer des techniques d’identification permettant de caractériser des éléments non linéaires à basse fréquence, pour différents niveaux d’excitation. Une configuration spécifique de tube d’impédance nommée -Short Kundt’s Tube- a été conçue pour atteindre des niveaux sonores très élevés à basse fréquence. Nous avons utilisé comme excitation un signal sinusoïdal balayé (également appelé chirp) présentant une fréquence instantanée exponentielle. Il n’a été utilisé ici que la mesure de la pression acoustique à l’intérieur du tube, devant la terminaison à étudier. Il est également indispensable de procéder à un étalonnage de la source à partir de mesures de charges acoustiques connues.
Différentes approches sont discutées. La première est définie comme une méthode de linéarisation et donne accès aux grandeurs d’impédance acoustique qui dépendent du niveau d’excitation. La seconde est basée sur un modèle non linéaire capable de caractériser un transfert d’énergie vers les harmoniques supérieures. Il est défini comme une matrice de diffusion reliant les composantes harmoniques des amplitudes des ondes de pression d’entrée et de sortie. Ces deux approches sont définies dans le domaine fréquentiel. La troisième est basée sur un modèle de Hammerstein, et permet d’obtenir une relation non linéaire entre les ondes de pression d’entrée et de sortie, dans le domaine temporel, sans dépendance avec le niveau d’excitation.
Ces techniques sont appliquées pour l’étude de différents absorbeurs vibroacoustiques non linéaires.

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