Résumé
On s’intéresse au comportement des ondes supportées par des matériaux hétérogènes périodiques, dont on souhaite optimiser la répartition des constituants pour obtenir des propriétés dispersives données.
Tout d’abord, je rappellerai comment le processus d’homogénéisation asymptotique double-échelle peut être poussé à l’ordre deux pour obtenir un modèle effectif qui décrit les propriétés dispersives du milieu à basses fréquences. Des illustrations seront données pour des matériaux bilaminés en 1D occupant des domaines bornés, pour lesquels nous avons proposé des correcteurs aux frontières adaptés à l’homogénéisation d’ordre deux [1].
Je présenterai ensuite un algorithme d’optimisation topologique [2] pour les matériaux bidimensionels supportant la propagation d’ondes scalaires (acoustiques ou élastiques antiplanes). Le modèle homogénéisé d’ordre deux permet de définir des fonctions-coûts à minimiser pour obtenir des propriétés dispersives données. La minimisation de ces fonctions-coût est dirigée par le calcul des dérivées topologiques des coefficients du modèle homogénéisé, qui décrivent la sensibilité de ce modèle à un changement de phase localisé [3], et qui sont exploitées dans un algorithme dédié. Le calcul des problèmes de cellule devant être résolus à chaque itération pour calculer ces dérivées topologiques est effectué grâce à la méthode d’homogénéisation accélérée par FFT proposée par Moulinec et Suquet [4].
Deux applications de cette procédure seront proposées, pour maximiser la dispersion effective du milieu dans des directions données, et pour reconstruire la microstructure d’un milieu architecturé à partir de mesures de vitesses de phase.
Références :
[1] Second-order homogenization of boundary and transmission conditions for one-dimensional waves in periodic
media, Remi Cornaggia et Bojan B. Guzina, International Journal of Solids and Structures, 2020
[2] Tuning effective dynamical properties of periodic media by FFT-accelerated topological optimization,
Rémi Cornaggia, Cédric Bellis, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2020
[3] Microstructural topological sensitivities of the second-order macroscopic model for waves in periodic media.
Marc Bonnet, Rémi Cornaggia et Bojan B. Guzina, SIAM Journal on Applied Mathematics, 2018
[4] A numerical method for computing the overall response of nonlinear composites with complex microstructure, Hervé Moulinec et Pierre Suquet, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1998
(preprint des [1,2,3] disponibles sur HAL : https://cv.archives-ouvertes.fr/rem... )
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