Jury

Rapporteurs :
 Claude-Henri LAMARQUE, Professeur, ENTPE, LTDS, Lyon, France
 Michel POTIER-FERRY, Professeur émérite, LEM3, Metz, France

Examinateurs :
 Sébastien NEUKIRCH, Directeur de Recherche CNRS, Institut Jean le Rond D’Alembert, Paris, France
 Loïc SALLES, Research Fellow, Imperial College, Londres, Angleterre
 Soizic TERRIEN, Chargé de Recherche CNRS, LAUM, Le Mans, France

Encadrement :
 Christophe VERGEZ, Directeur de Recherche CNRS, LMA, Marseille, France, Directeur de thèse
 Bruno COCHELIN, Professeur ECM, LMA, Marseille, France, co-directeur de thèse

Résumé

Cette thèse présente une approche générique pour l’étude des systèmes dynamiques. Elle repose sur la reformulation quadratique des équations du système. Elle montre la généricité de cette approche, qui peut paraître réductrice en première approche. Au début, une méthode de continuation utilisant des séries de Taylor d’ordre élevé est expliquée. Elle permet d’obtenir des diagrammes de bifurcations de manière efficace et précise et des applications directes à la résolution de systèmes non linéaires sont présentées en lien avec des techniques d’homotopies. Elle permet également de construire facilement des méthodes d’intégration temporelle d’ordres élevés. L’étude des régimes établis ainsi que transitoires peut être menée dans le cadre de la méthode de continuation présentée. De manière générale, les solutions des problèmes de Cauchy et des problèmes aux limites peuvent être calculées et continuées. Les solutions périodiques, et plus généralement quasi-périodiques, de systèmes d’équations différentielles sont accessibles précisément à travers leur série de Fourier, tronquée à un ordre élevé. Cette méthode, connue comme l’Équilibrage Harmonique, est extrêmement efficace quand elle est combinée à la continuation par séries de Taylor, grâce à la reformulation quadratique. D’autres conséquences immédiates en sont l’analyse de stabilité des équilibres et cycles limites de certains systèmes. Une des avancées principales permise par le formalisme défini dans ce manuscrit est certainement le calcul numérique. Il en résulte que l’implémentation des méthodes est simple et efficace. A la fin de ce manuscrit, le lecteur trouvera des applications dans le domaine de l’acoustique musicale qui montrent les performances et les possibilités contenues dans les travaux présentés.